Matemática discreta Ejemplos

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 3^{2} (\frac{1}{6}) - 3 x$

Paso 1

Resuelve $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 9 (\frac{1}{6}) - 3 x$

Paso 1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 3 (3) \frac{1}{6} - 3 x$

Paso 1.1.2.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 3 \cdot 3 \frac{1}{3 \cdot 2} - 3 x$

Paso 1.1.2.3

Cancela el factor común.

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 3 \cdot 3 \frac{1}{3 \cdot 2} - 3 x$

Paso 1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 3 (\frac{1}{2}) - 3 x$

Paso 1.1.3

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = \frac{3}{2} - 3 x$

Paso 1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = \frac{3}{2} - 3 x - 2 x$

Paso 1.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3}{2} - 3 x - 2 x + 2$

Paso 1.2.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 3 x - 2 x + \frac{3}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.2.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 3 x - 2 x + \frac{3}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 3 x - 2 x + \frac{3 + 2 \cdot 2}{2}$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 3 x - 2 x + \frac{3 + 4}{2}$

Paso 1.2.6.2

Suma $3$ y $4$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 3 x - 2 x + \frac{7}{2}$

Paso 1.2.7

Resta $2 x$ de $- 3 x$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 5 x + \frac{7}{2}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}}^{2} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ como ${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{1} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Suma $- 8$ y $4$ .

${(\frac{x - 4}{2})}^{1} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.3

Simplifica.

$\frac{x - 4}{2} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$ como $(- 5 x + \frac{7}{2}) (- 5 x + \frac{7}{2})$ .

$\frac{x - 4}{2} = (- 5 x + \frac{7}{2}) (- 5 x + \frac{7}{2})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(- 5 x + \frac{7}{2}) (- 5 x + \frac{7}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 4}{2} = - 5 x (- 5 x + \frac{7}{2}) + \frac{7}{2} (- 5 x + \frac{7}{2})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 4}{2} = - 5 x (- 5 x) - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x + \frac{7}{2})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 4}{2} = - 5 x (- 5 x) - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x - 4}{2} = - 5 \cdot - 5 x \cdot x - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = - 5 \cdot - 5 (x \cdot x) - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Paso 3.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = - 5 \cdot - 5 x^{2} - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $- 5 x \frac{7}{2}$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Combina $- 5$ y $\frac{7}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + x \frac{- 5 \cdot 7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Multiplica $- 5$ por $7$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + x \frac{- 35}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Combina $x$ y $\frac{- 35}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + \frac{x \cdot - 35}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5

Mueve $- 35$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + \frac{- 35 \cdot x}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Paso 3.3.1.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 \cdot x}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Paso 3.3.1.3.1.7

Multiplica $\frac{7}{2} (- 5 x)$ .

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Paso 3.3.1.3.1.7.1

Combina $- 5$ y $\frac{7}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{- 5 \cdot 7}{2} x + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Paso 3.3.1.3.1.7.2

Multiplica $- 5$ por $7$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{- 35}{2} x + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Paso 3.3.1.3.1.7.3

Combina $\frac{- 35}{2}$ y $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{- 35 x}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Paso 3.3.1.3.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Paso 3.3.1.3.1.9

Multiplica $\frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$ .

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Paso 3.3.1.3.1.9.1

Multiplica $\frac{7}{2}$ por $\frac{7}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{7 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.9.2

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{49}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.9.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{49}{4}$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $\frac{35 x}{2}$ de $- \frac{35 x}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - 2 \frac{35 x}{2} + \frac{49}{4}$

Paso 3.3.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.4.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.4.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + 2 (- 1) \frac{35 x}{2} + \frac{49}{4}$

Paso 3.3.1.4.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{35 x}{2} + \frac{49}{4}$

Paso 3.3.1.4.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - 1 (35 x) + \frac{49}{4}$

Paso 3.3.1.4.2

Multiplica $35$ por $- 1$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - 35 x + \frac{49}{4}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{x - 4}{2} \cdot 2 = (25 x^{2} - 35 x + \frac{49}{4}) \cdot 2$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x - 4}{2} \cdot 2 = (25 x^{2} - 35 x + \frac{49}{4}) \cdot 2$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x - 4 = (25 x^{2} - 35 x + \frac{49}{4}) \cdot 2$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica $(25 x^{2} - 35 x + \frac{49}{4}) \cdot 2$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 4 = 25 x^{2} \cdot 2 - 35 x \cdot 2 + \frac{49}{4} \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1.2.1

Multiplica $2$ por $25$ .

$x - 4 = 50 x^{2} - 35 x \cdot 2 + \frac{49}{4} \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 35$ .

$x - 4 = 50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{4} \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.2.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x - 4 = 50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{2 (2)} \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.2.3.2

Cancela el factor común.

$x - 4 = 50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$x - 4 = 50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{2}$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{2} = x - 4$

Paso 4.3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{2} - x = - 4$

Paso 4.3.2.2

Resta $x$ de $- 70 x$ .

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49}{2} = - 4$

Paso 4.3.3

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49}{2} + 4 = 0$

Paso 4.3.3.2

Simplifica $50 x^{2} - 71 x + \frac{49}{2} + 4$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2} = 0$

Paso 4.3.3.2.2

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} = 0$

Paso 4.3.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49 + 4 \cdot 2}{2} = 0$

Paso 4.3.3.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.3.2.4.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49 + 8}{2} = 0$

Paso 4.3.3.2.4.2

Suma $49$ y $8$ .

$50 x^{2} - 71 x + \frac{57}{2} = 0$

Paso 4.3.4

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 4.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (50 x^{2}) + 2 (- 71 x) + 2 (\frac{57}{2}) = 0$

Paso 4.3.4.2

Simplifica.

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Paso 4.3.4.2.1

Multiplica $50$ por $2$ .

$100 x^{2} + 2 (- 71 x) + 2 (\frac{57}{2}) = 0$

Paso 4.3.4.2.2

Multiplica $- 71$ por $2$ .

$100 x^{2} - 142 x + 2 (\frac{57}{2}) = 0$

Paso 4.3.4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$100 x^{2} - 142 x + 2 (\frac{57}{2}) = 0$

Paso 4.3.4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$100 x^{2} - 142 x + 57 = 0$

Paso 4.3.5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.3.6

Sustituye los valores $a = 100$ , $b = - 142$ y $c = 57$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{142 \pm \sqrt{{(- 142)}^{2} - 4 \cdot (100 \cdot 57)}}{2 \cdot 100}$

Paso 4.3.7

Simplifica.

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Paso 4.3.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.7.1.1

Eleva $- 142$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{142 \pm \sqrt{20164 - 4 \cdot 100 \cdot 57}}{2 \cdot 100}$

Paso 4.3.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 100 \cdot 57$ .

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Paso 4.3.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $100$ .

$x = \frac{142 \pm \sqrt{20164 - 400 \cdot 57}}{2 \cdot 100}$

Paso 4.3.7.1.2.2

Multiplica $- 400$ por $57$ .

$x = \frac{142 \pm \sqrt{20164 - 22800}}{2 \cdot 100}$

Paso 4.3.7.1.3

Resta $22800$ de $20164$ .

$x = \frac{142 \pm \sqrt{- 2636}}{2 \cdot 100}$

Paso 4.3.7.1.4

Reescribe $- 2636$ como $- 1 (2636)$ .

$x = \frac{142 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2636}}{2 \cdot 100}$

Paso 4.3.7.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (2636)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2636}$ .

$x = \frac{142 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2636}}{2 \cdot 100}$

Paso 4.3.7.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{142 \pm i \cdot \sqrt{2636}}{2 \cdot 100}$

Paso 4.3.7.1.7

Reescribe $2636$ como $2^{2} \cdot 659$ .

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Paso 4.3.7.1.7.1

Factoriza $4$ de $2636$ .

$x = \frac{142 \pm i \cdot \sqrt{4 (659)}}{2 \cdot 100}$

Paso 4.3.7.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{142 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 659}}{2 \cdot 100}$

Paso 4.3.7.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{142 \pm i \cdot (2 \sqrt{659})}{2 \cdot 100}$

Paso 4.3.7.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{142 \pm 2 i \sqrt{659}}{2 \cdot 100}$

Paso 4.3.7.2

Multiplica $2$ por $100$ .

$x = \frac{142 \pm 2 i \sqrt{659}}{200}$

Paso 4.3.7.3

Simplifica $\frac{142 \pm 2 i \sqrt{659}}{200}$ .

$x = \frac{71 \pm i \sqrt{659}}{100}$

Paso 4.3.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{71 + i \sqrt{659}}{100}, \frac{71 - i \sqrt{659}}{100}$